Un ángulo es una figura geométrica formada en una superficie por dos líneas que parten de un mismo punto.
También podemos decir que un ángulo es la abertura formada por dos rayos llamados lados, que tienen un origen común llamado vértice.
Agudo < 90° | Recto = 90° | Obtuso>90° |
Convexo < 180° | Llano = 180° | Cóncavo > 180° |
Nulo = 0º | Completo = 360° | |
Negativo < 0º | Mayor de 360° | |
|
Ángulos adyacentes son aquellos que tienen
el vértice y un lado común, y los otros lados
situados uno en prolongación del otro.
Forman un ángulo llano.
Dos ángulos son complementarios si suman 90°.
Sistema Sexagesimal
El Sistema Sexagesimal es un sistema de numeración en el que cada unidad se divide en 60 unidades de orden inferior, es decir, es un sistema de numeración en base 60. Se aplica en la actualidad a la medida del tiempo y a la de la amplitud de los ángulos.
1 h 60 min 60 s 1º 60' 60''
Sistema Cíclico o Radial
En el sistema cíclico el ángulo unidad es el radian (rad) que es un ángulo con vértice en el centro de una circunferencia y cuyos lados abarcan un arco de longitud igual al radio de la circunferencia
Se establece que
360° =2π rad.
180° = π rad
TEOREMA DE PITÁGORAS
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
1 Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusa
Ejemplo: Los catetos de un triángulo rectángulo miden en 3 m y 4 m respectivamente. ¿Cuánto mide la hipotenusa?
2 Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto
Ejemplo: La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 m y uno de sus catetos 3 m. ¿Cuánto mide otro cateto?
3 Conociendo sus lados, averiguar si es rectángulo
Para que sea rectángulo el cuadrado de lado mayor ha de ser igual a la suma de los cuadrados de los dos menores.
Ejemplo: Determinar si el triángulo es rectángulo.
Tomado de http://www.vitutor.com/geo/eso/as_5.html.
REPASEMOS....
El Teorema
de Pitágoras tiene relación directa a un triangulo rectángulo
al establecer que la suma de los cuadrados de los catetos (dos lados menores que forman un
ángulo recto) es igual a el cuadrado de la hipotenusa (el lado más largo).
Las razones pitagóricas que se pueden resolver aplicando la formula anterior son las siguientes:
- Ejemplo 1: Para saber el valor de la hipotenusa se debe obtener la suma de los cuadrados de los catetos y finalmente sacar la raíz cuadrada.
- Ejemplo 2: Para obtener el valor de un cateto cuando tenemos dos valores (hipotenusa y un cateto)
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS A PARTIR DE UN PUNTO EN UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
Funciones Trigonométricas
Una función trigonométrica, es aquella que se define por
la aplicación de una razón trigonométrica a los distintos valores de la variable independiente, que ha de estar expresada en radianes. Existen seis clases de funciones trigonométricas: seno y su
inversa, la cosecante; coseno y su inversa, la secante; y tangente y su inversa, la cotangente. Para cada una de ellas pueden también definirse funciones circulares inversas: arco seno, arco
coseno, etcétera.
Función Seno |
Función Coseno |
Función Tangente |
Función Cotangente |
Función Secante |
Función Cosecante |
1) El seno del ángulo es la relación entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
2) El coseno del ángulo es la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
3) La tangente del ángulo es la relación entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.
4) La cosecante del ángulo es la relación entre la hipotenusa y el cateto opuesto.
5) La secante del ángulo es la relación entre la hipotenusa y el cateto adyacente.
6) La cotangente del ángulo es la relación entre el cateto adyacente y el opuesto.
Resolver un triángulo consiste en calcular seis elementos: los tres lados y los tres ángulos. Para ello necesitamos conocer tres de estos seis elementos y uno de los datos por lo menos sea un lado. Si el triángulo es rectángulo (un ángulo es 90º) basta conocer dos de sus elementos, uno de los cuales debe ser un lado.
Se llama razón trigonométrica de un ángulo agudo a cada uno de los cocientes que se pueden establecer entre los lados de un triángulo rectángulo cualquiera.Las razones trigonométricas fundamentales (seno, coseno y tangente) relacionan los ángulos agudos y los lados de un triángulo rectángulo de la siguiente forma:
Los lados de un triángulo rectángulo verifican el teorema de
Pitágoras
:
Para hallar los ángulos se utilizan las inversas de seno, coseno y tangente de la siguiente forma:
EJERCICIO Calcula la altura de la torre si nuestro personaje está a 7 m de la base de la torre, el ángulo con el que está observando la cúspide es de 60º y sostiene el artilugio a una altura de 1,5 m.
Para comenzar, vamos a hacer un dibujo que aclare un poco la situación poniendo los datos que conocemos.
Si nos fijamos en el triángulo, el lado c mide 7 m y una vez que tengamos calculado el lado b, para calcular la altura de la torre sólo tendremos que sumarle los 1,5 m. Así pues, vamos a calcular el lado b.
Para el ángulo 60º, el lado que conozco es el cateto contiguo y el que quiero calcular es el cateto opuesto, así pues planteo la tangente de 60º.
Por tanto la altura de la torre es 12,11 m + 1,5 m = 13, 61 m.
TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
Un triángulo oblicuángulo es aquel que no es recto ninguno de sus ángulos, por lo que no se puede resolver directamente por el teorema de Pitágoras, el triángulo oblicuángulo se resuelve por leyes de senos y de cosenos, así como el que la suma de todos los ángulos internos de un triángulo suman 180 grados.
LEY DEL SENO Y DEL COSENO
Para usar la ley de los senos necesita conocer ya sea dos ángulos y un lado del triángulo (AAL o ALA) o dos lados y un ángulo opuesto de uno de ellos (LLA). Dese cuenta que para el primero de los dos casos usamos las mismas partes que utilizó para probar la congruencia de triángulos en geometría pero en el segundo caso no podríamos probar los triángulos congruentes dadas esas partes. Esto es porque las partes faltantes podrían ser de diferentes tamaños. Esto es llamado el caso ambiguo y lo discutiremos más adelante.
Ejemplo 1: Dado dos ángulos y un lado no incluído (AAL).
Dado ∆ABC con A = 30°, B = 20° y a = 45 m. Encuentre el ángulo y los lados faltantes.
El tercer ángulo del triángulo es
C = 180° – A – B = 180° – 30° – 20 ° = 130°
Por la ley de los senos,
Por las propiedades de las proporciones
Ejemplo 2: Dado dos ángulos y un lado incluído (ALA).
Dado A = 42°, B = 75° y c = 22 cm. Encuentre el ángulo y los lados faltantes.
El tercer ángulo del triángulo es:
C = 180° – A – B = 180° – 42° – 75° = 63°
Por la ley de los senos,
Por las propiedades de las proporciones
y
La ley de los cosenos es usada para encontrar las partes faltantes de un triángulo oblicuo (no rectángulo) cuando ya sea las medidas de dos lados y la medida del ángulo incluído son conocidas (LAL) o las longitudes de los tres lados (LLL) son conocidas. En cualquiera de estos casos, es imposible usar la ley de los senos porque no podemos establecer una proporción que pueda resolverse.
La ley de los cosenos establece:
c2 = a2 + b2 – 2abcos C.
Esto se parece al teorema de Pitágoras excepto que para el tercer término y si C es un ángulo recto el tercer término es igual 0 porque el coseno de 90° es 0 y se obtiene el teorema de Pitágoras. Así, el teorema de Pitágoras es un caso especial de la ley de los cosenos.
La ley de los cosenos también puede establecerse como
b2 = a2 + c2 – 2accos B or
a2 = b2 + c2 – 2bccos A.
Ejemplo 1: Dos lados y el ángulo incluído-LAL
Dado a = 11, b = 5 y C = 20°. Encuentre el lado y ángulos faltantes.
Para encontrar los ángulos faltantes, ahora es más fácil usar la ley de los senos.
Ejemplo 2: Tres lados-LLL
Dado a = 8, b = 19 y c = 14. Encuentre las medidas de los ángulos.
Es mejor encontrar el ángulo opuesto al lado más grande primero. En este caso, ese es el lado b.
Ya que el cos B es negativo, sabemos que B es un ángulo obtuso.
B ≈ 116.80°
Ya que B es un ángulo obtuso y un triángulo tiene a lo más un ángulo obtuso, sabemos que el ángulo A y el ánguloC ambos son agudos.
Para encontrar los otros dos ángulos, es más sencillo usar la ley de los senos.