ÁNGULOS

Un ángulo es una figura geométrica formada en una superficie por dos líneas que parten de un mismo punto.

También podemos decir que un ángulo es la abertura formada por dos rayos llamados lados, que tienen un origen común llamado vértice.

x

 

 

Clasificación de ángulos

Clasificación de ángulos según su medida

Agudo < 90° Recto = 90° Obtuso>90°
ángulo agudo ángulo recto ángulo obtuso
Convexo < 180° Llano = 180° Cóncavo > 180°
ángulo obtuso ángulo llano ángulo cóncavo
Nulo = 0º Completo = 360°  
ángulo nulo ángulo Completo  
Negativo < 0º Mayor de 360°  
ángulo negativo ángulo mayor de 360º


 

 

 

 

 

 


Clasificación de ángulos según su posición

Ángulos consecutivos

                 Ángulos consecutivos
Ángulos consecutivos son aquellos que tienen el vértice y un lado común.

Ángulos adyacentes

Ángulos adyacentes

Ángulos adyacentes son aquellos que tienen

el vértice y un lado común, y los otros lados

situados uno en prolongación del otro.

Forman un ángulo llano.

Ángulos opuestos por el vértice

Ángulos opuestos por el vértice
Son los que teniendo el vértice común, los lados de uno son prolongación de los lados del otro.
Los ángulos son iguales.
Los ángulos son iguales.

Clasificación de ángulos según su suma

Ángulos complementarios

Ángulos complementarios

Dos ángulos son complementarios si suman 90°.

Ángulos suplementarios

Ángulos suplementarios
Dos ángulos son suplementarios si suman 180°.

ÁNGULOS POSITIVOS 
El sentido del giro es positivo si es contrario al desplazamiento de las agujas del reloj.

ÁNGULOS NEGATIVOS

El sentido de giro es negativo si es el mismo que el de las agujas del reloj.


Sistema Sexagesimal

El Sistema Sexagesimal es un sistema de numeración en el que cada unidad se divide en 60 unidades de orden inferior, es decir, es un sistema de numeración en base 60. Se aplica en la actualidad a la medida del tiempo y a la de la amplitud de los ángulos.

1 h flecha 60 min flecha 60 s                        1º flecha 60' flecha 60''

Sistema Cíclico o Radial

En el sistema cíclico el ángulo unidad es el radian (rad) que es un ángulo con vértice en el centro de una circunferencia y cuyos lados abarcan un arco de longitud igual al radio de la circunferencia

 

Se establece que

 

      360°  =2π rad. 

180° = π rad

 

 

TEOREMA DE PITÁGORAS

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

      Teorema de Pitágoras

triángulo

Aplicaciones del teorema de Pitágoras:

1 Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusa

     Hipotenusa

Ejemplo: Los catetos de un triángulo rectángulo miden en 3 m y 4 m respectivamente. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

dibujo 
solución

2 Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto

     Cateto

Ejemplo: La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 m y uno de sus catetos 3 m. ¿Cuánto mide otro cateto?

dibujo 
solución

3 Conociendo sus lados, averiguar si es rectángulo

Para que sea rectángulo el cuadrado de lado mayor ha de ser igual a la suma de los cuadrados de los dos menores.

 

Ejemplo: Determinar si el triángulo es rectángulo.

dibujo 
solución

Tomado de http://www.vitutor.com/geo/eso/as_5.html.

 


REPASEMOS....



 El Teorema de Pitágoras tiene relación directa a un triangulo rectángulo al establecer que la suma de los cuadrados de los catetos (dos lados menores que forman un ángulo recto) es igual a el cuadrado de la hipotenusa (el lado más largo).

Las razones pitagóricas que se pueden resolver aplicando la formula anterior son las siguientes:

- Ejemplo 1: Para saber el valor de la hipotenusa se debe obtener la suma de los cuadrados de los catetos y finalmente sacar la raíz cuadrada. 

- Ejemplo 2: Para obtener el valor de un cateto cuando tenemos dos valores (hipotenusa y un cateto)


RAZONES TRIGONOMÉTRICAS A PARTIR DE UN PUNTO EN UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL

Funciones Trigonométricas

Una función trigonométrica, es aquella que se define por la aplicación de una razón trigonométrica a los distintos valores de la variable independiente, que ha de estar expresada en radianes. Existen seis clases de funciones trigonométricas: seno y su inversa, la cosecante; coseno y su inversa, la secante; y tangente y su inversa, la cotangente. Para cada una de ellas pueden también definirse funciones circulares inversas: arco seno, arco coseno, etcétera.


  • Función Seno: f(x)= sen x
  • Asocia a cada número real, x, el valor del seno del ángulo cuya medida en radianes es x.

 

Función Seno
Función Seno


  • Función Coseno: f(x) = cos x
  • Asocia a cada número real, x, el valor del coseno del ángulo cuya medida en radianes es x.

 

Función Coseno
Función Coseno

 

  • Función Tangente: f(x)= tan x
  • Asocia a cada número real, x, el valor de la tangente del ángulo cuya medida en radianes es x.

 

Función Tangente
Función Tangente

 

  • Función Cotangente: f(x)= cot x
  • Asocia a cada número real, x, el valor de la cotangente del ángulo cuya medida en radianes es x.

 

Función Cotangente
Función Cotangente

 

  • Función Secante: f(x)= sec x
  • Asocia a cada número real, x, el valor de la secante del ángulo cuya medida en radianes es x.

 

Función Secante
Función Secante

 

  • Función Cosecante: f(x)= cos x
  • Asocia a cada número real, x, el valor de la cosecante del ángulo cuya medida en radianes es x.

 

Función Cosecante
Función Cosecante



1) El seno del ángulo es la relación entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
2) El coseno del ángulo es la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
3) La tangente del ángulo es la relación entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.
4) La cosecante del ángulo es la relación entre la hipotenusa y el cateto opuesto.
5) La secante del ángulo es la relación entre la hipotenusa y el cateto adyacente.
6) La cotangente del ángulo es la relación entre el cateto adyacente y el opuesto.

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RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS                           RECTANGULOS

Resolver un triángulo consiste en calcular seis elementos: los tres lados y los tres ángulos. Para ello necesitamos conocer tres de estos seis elementos y uno de los datos por lo menos sea un lado. Si el triángulo es rectángulo (un ángulo es 90º) basta conocer dos de sus elementos, uno de los cuales debe ser un lado.

 

Se llama razón trigonométrica de un ángulo agudo a cada uno de los cocientes que se pueden establecer entre los lados de un triángulo rectángulo cualquiera.Las razones trigonométricas fundamentales (seno, coseno y tangente) relacionan los ángulos agudos y los lados de un triángulo rectángulo de la siguiente forma:

                          

Los lados de un triángulo rectángulo verifican el teorema de 
Pitágoras :      

Para hallar los ángulos se utilizan las inversas de seno, coseno y tangente de la siguiente forma:

                   

 

 

Llamamos ángulo de elevación al que forman la horizontal del observador y el lugar observado cuando este está situado arriba del observador y ángulo de depresión al que se va a medir por debajo de la horizontal.

 

 

EJERCICIO  Calcula la altura de la torre si nuestro personaje está a 7 m de la base de la torre, el ángulo con el que está observando la cúspide es de 60º y sostiene el artilugio a una altura de 1,5 m.

 

 Para comenzar, vamos a hacer un dibujo que aclare un poco la situación poniendo los datos que conocemos.

Si nos fijamos en el triángulo, el lado c mide 7 m y una vez que tengamos calculado el lado b, para calcular la altura de la torre sólo tendremos que sumarle los 1,5 m. Así pues, vamos a calcular el lado b.

Para el ángulo 60º, el lado que conozco es el cateto contiguo y el que quiero calcular es el cateto opuesto, así pues planteo la tangente de 60º.

 

Por tanto la altura de la torre es 12,11 m + 1,5 m = 13, 61 m.

TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

Un triángulo oblicuángulo es aquel que no es recto ninguno de sus ángulos, por lo que no se puede resolver directamente por el teorema de Pitágoras, el triángulo oblicuángulo se resuelve por leyes de senos y de cosenos, así como el que la suma de todos los ángulos internos de un triángulo suman 180 grados.

 

 

LEY DEL SENO Y DEL COSENO

 

 

Ley del seno

Para usar la ley de los senos necesita conocer ya sea dos ángulos y un lado del triángulo (AAL o ALA) o dos lados y un ángulo opuesto de uno de ellos (LLA). Dese cuenta que para el primero de los dos casos usamos las mismas partes que utilizó para probar la congruencia de triángulos en geometría pero en el segundo caso no podríamos probar los triángulos congruentes dadas esas partes. Esto es porque las partes faltantes podrían ser de diferentes tamaños. Esto es llamado el caso ambiguo y lo discutiremos más adelante.

Ejemplo 1: Dado dos ángulos y un lado no incluído (AAL).

Dado ∆ABC con A = 30°, B = 20° y a = 45 m. Encuentre el ángulo y los lados faltantes.

       

       El tercer ángulo del triángulo es

              C = 180° – A – B = 180° – 30° – 20 ° = 130°

        Por la ley de los senos,

              

       Por las propiedades de las proporciones

              

 

 

Ejemplo 2: Dado dos ángulos y un lado incluído (ALA).

Dado = 42°, B = 75° y c = 22 cm. Encuentre el ángulo y los lados faltantes.

       

       El tercer ángulo del triángulo es:

              C = 180° – A – B = 180° – 42° – 75° = 63°

       Por la ley de los senos,

              

       Por las propiedades de las proporciones

               y 

Ley de los cosenos

La ley de los cosenos es usada para encontrar las partes faltantes de un triángulo oblicuo (no rectángulo) cuando ya sea las medidas de dos lados y la medida del ángulo incluído son conocidas (LAL) o las longitudes de los tres lados (LLL) son conocidas. En cualquiera de estos casos, es imposible usar la ley de los senos porque no podemos establecer una proporción que pueda resolverse.

La ley de los cosenos establece:

       c2 = a2 + b2 – 2abcos C.

 

Esto se parece al teorema de Pitágoras excepto que para el tercer término y si C es un ángulo recto el tercer término es igual 0 porque el coseno de 90° es 0 y se obtiene el teorema de Pitágoras. Así, el teorema de Pitágoras es un caso especial de la ley de los cosenos.

La ley de los cosenos también puede establecerse como

       b2 = a2 + c2 – 2accos B or

       a2 = b2 + c2 – 2bccos A.

Ejemplo 1: Dos lados y el ángulo incluído-LAL

Dado a = 11, b = 5 y C = 20°. Encuentre el lado y ángulos faltantes.

       

              

       Para encontrar los ángulos faltantes, ahora es más fácil usar la ley de los senos.

              

 

Ejemplo 2: Tres lados-LLL

Dado a = 8, b = 19 y c = 14.  Encuentre las medidas de los ángulos.

       

       Es mejor encontrar el ángulo opuesto al lado más grande primero. En este caso, ese es el lado b.

              

       Ya que el cos B es negativo, sabemos que B es un ángulo obtuso.

              B  116.80°

       Ya que B es un ángulo obtuso y un triángulo tiene a lo más un ángulo obtuso, sabemos que el ángulo A y el ánguloC ambos son agudos.

       Para encontrar los otros dos ángulos, es más sencillo usar la ley de los senos.